25 Contoh Soal Himpunan, Pembahasan, dan Kunci Jawabannya

Himpunan menjadi salah satu konsep dasar matematika yang akan berkaitan dengan beragam konsep lainnya dalam ilmu matematika. Oleh sebab itu, penting untuk memahami dan menguasai konsep himpunan ini. Untuk dapat menguasainya, Si Kecil perlu untuk berlatih mengerjakan contoh soal-soal himpunan.

Apabila Si Kecil terbiasa dalam mengerjakan soal-soal himpunan, maka hal ini dapat bermanfaat pada meningkatnya kemampuan Si Kecil untuk mengidentifikasi, memahami, dan menerapkan konsep-konsep dasar dalam himpunan. Tak hanya itu, latihan mengerjakan soal himpunan juga berguna untuk mengukur seberapa dalam pemahaman Si Kecil terhadap materi tersebut.

Biasanya, contoh soal-soal himpunan mencakup beberapa tingkatan, mulai dari yang sederhana hingga tingkat yang lebih sulit. Adapun materi himpunan yang akan ditemui Si Kecil ialah mengenai himpunan gabungan, himpunan irisan, dan masih banyak lagi.

Agar Si Kecil semakin mahir dalam memahami materi pembelajaran himpunan, Bunda bisa menggunakan berbagai contoh soal yang berasal dari sumber-sumber relevan, lho. Dengan begitu, Si Kecil tak perlu merasa kesulitan lagi karena sudah mempelajarinya terlebih dahulu di rumah bersama Bunda.

Nah, lantas seperti apa contoh soal himpunan? Berikut ini penjelasan dan beberapa contoh soal himpunan beserta kunci jawabannya yang dapat Si Kecil pelajari dikutip dari buku Himpunan Teori dan Contoh Soal, penerbit Ahlimedia Book (2020) dan berbagai sumber. Simak penjelasan selengkapnya yuk, Bunda.

Apa itu bilangan himpunan?

Bilangan himpunan adalah suatu kumpulan bilangan yang dapat dijabarkan secara jelas. Beberapa istilah yang ada pada bilangan himpunan yaitu, anggota himpunan dan bukan anggota himpunan. Istilah anggota himpunan di sini berarti anggota dari suatu bilangan himpunan yang dipastikan secara jelas. Sedangkan, anggota bukan anggota himpunan ialah anggota bilangan himpunan yang tidak dapat ditentukan secara jelas atau tidak dapat diukur.

Jenis himpunan

Adapaun jenis-jenis himpunan adalah sebagai berikut.

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta atau yang dikenal juga dengan himpunan universal merupakan suatu bilangan himpunan yang semua anggotanya dibicarakan. Ciri utama dari himpunan semesta ialah penggunaan lambang huruf S dalam bentuk kapital. Sebagai contohnya:

A = {2,4,6,8,10,12}

Bentuk himpunan semestanya:

S = {bilangan genap}, {bilangan asli}, {bilangan cacah}

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong merupakan suatu bilangan himpunan yang tidak memiliki anggota. Ciri utama dari himpunan kosong ialah lambang Ø atau { } pada perhitungannya. Sebagai contohnya, A adalah himpunan bilangan genap yang habis dibagi 3. Karena tidak ada bilangan genap yang habis dibagi 3, maka himpunan A adalah himpunan kosong.

A = {bilangan genap yang habis dibagi 3} atau A = Ø

3. Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa atau disebut juga dengan power set adalah bilangan himpunan yang menjadi bagian dari A termasuk juga himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Anggota himpunan kuasa dapat ditulis dalam 2 pangkat n, tanda n ini juga melambangkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Sebagai contohnya:

A = {1,2,3,4}
Maka, tentukan:
Banyaknya himpunan kuasa dari himpunan A
Jawaban:
A = {1,2,3,4}
n(A) = 5
Banyaknya himpunan kuasa dari himpunan A = 2 pangkat n
= 2 pangkat 5
= 32

4. Himpunan bagian

Himpunan bagian merupakan bilangan himpunan yang seluruh anggotanya berada di himpunan lain. Ciri utama himpunan bagian ialah lambang ⊂ atau ⊃. Sebagai contohnya:

A = {1,2,3}
B = {1,2,3,4,5}
Maka A ⊂ B atau B ⊃ A
Namun jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B, maka penulisannya menjadi A ⊄ B.

10 Contoh soal cerita himpunan dan kunci jawabannya

Mengutip buku Top One UN-USBN SMP/MTs, penerbit BintangWahyu (2018) berikut ini contoh soal cerita himpunan beserta kunci jawabannya. Simak ya, Bunda.

1. Dalam suatu penelitian 45 ibu-ibu terhadap dua produk sabun, yaitu sabun A dan sabun B. Sebanyak 30 orang menggunakan sabun A, 25 orang menggunakan sabun B, dan 2 orang tidak menggunakan kedua sabun tersebut. Banyak orang yang hanya menggunakan sabun A adalah....

Kunci jawaban:
Ibu-ibu pengguna sabun A = A
Ibu-ibu pengguna sabun B = B
Banyak ibu yang menggunakan sabun A dan B = x orang.

(30-x)+x+(25-x)+2 = 45
30-x+x+25-x+2 = 45
30+25+2-x+x-x = 45
57-x = 45
x = 57-45
x = 12

Banyak ibu-ibu yang hanya menggunakan sabun A adalah: 30-x = 30-12 = 18
Jadi, banyak ibu-ibu yang hanya menggunakan sabun A = 18 orang.

2. Dari 143 siswa, 90 siswa senang matematika, 87 siswa senang fisika, dan 60 siswa senang keduanya. Banyak siswa yang tidak senang matematika maupun fisika adalah...
Kunci jawaban:
A: Himpunan siswa senang matematika.
B: Himpunan siswa yang senang fisika.
C: Himpunan siswa yang tidak senang matematika maupun fisika.

n(A)=90; n(B) = 87; n(AB) = 60; n(S)=143.
n(AUB) = n(A) + n(B) - n(AB)
=90+87-60=117
n(C)= n(S)-n(AUB) = 143-117 = 26 orang.

3. Di kelas 9A terdapat 36 siswa, setelah di data terdapat 7 orang gemar IPA, 9 orang gemar matematika, dan 5 orang gemar keduanya. Banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah...
Kunci jawaban:
IPA = siswa gemar IPA
MAT = siswa gemar matematika
Banyak siswa kelas 9A dapat digambar pada diagram Venn berikut.

Banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah x dan memenuhi:
x+2+5+4 = 36
x = 25

4. Dari 100 orang yang disurvei tentang kegemaran menonton acara televisi, diperoleh 68 orang gemar menonton sinetron, 42 orang gemar menonton berita, dan 10 orang tidak gemar kedua acara tersebut. Banyak orang yang hanya gemar menonton berita adalah...
Kunci jawaban:
n(S) = 100
Nonton sinetron: n(A) = 68
Nonton berita: n(B) = 42
Tidak suka keduanya: n(AUB) = 10
Perhatikan diagram Venn di bawah ini:

Pada diagram Venn memenuhi:
n(S) = (68-x) + (42-x) + x + 10
100 = 120-x
x = 20
Jadi, yang hanya gemar nonton berita saja sebanyak:
42-x = 42-20 = 22

5. Dari 40 orang anggota karang taruna, 21 orang gemar tenis meja, 27 orang gemar bulu tangkis, dan 15 orang gemar tenis meja dan bulu tangkis. Banyak anggota karang taruna yang tidak gemar tenis meja maupun bulu tangkis adalah...
Kunci jawaban:
Diketahui: n(S) = 40
n(tenis meja) = 21
n(bulu tangkis) = 27
n(tenis meja dan bulu tangkis) = 15
Perhatikan diagram Venn di bawah ini.

Misalkan, anggota karang taruna yang tidak gemar tenis meja maupun bulu tangkis = x
Maka:
40 = 6+15+12+x
40 = 33+x
x = 7 orang

6. Dari 28 siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler di sekolah, 15 anak mengikuti pramuka, 12 anak mengikuti futsal, dan 7 anak mengikuti keduanya. Banyaknya siswa yang tidak mengikuti pramuka maupun futsal adalah...
Kunci jawaban:
Misal: yang senang pramuka adalah A dan yang senang futsal adalah B
Maka:
n(S) = n(A)+n(B)-n(AB)+n(AUB)C
= 2815+12 7+ n(AUB)
28 = 27-7+n(AUB)
n(AUB) = 28-20
n(AUB) = 8

Jadi, siswa yang tidak senang pramuka maupun futsal ada 8 orang.

7. Sebuah kelas yang terdiri atas 40 siswa, diperoleh data 30 siswa pernah berkunjung ke Ancol, dan 25 siswa pernah berkunjung ke Taman Mini. Jika 10 anak tidak pernah berkunjung ke Ancol maupun Taman Mini, banyaknya anak yang pernah berkunjung ke kedua tempat tersebut adalah...
Kunci jawaban:
n(S) = 40 siswa
n(Ancol) = 30 siswa
n(Taman Mini) = 25 siswa
n(Tidak pernah keduanya) = 10 siswa
Misalkan x = banyak siswa yang pernah berkunjung ke Ancol dan Taman Mini.
Perhatikan diagram Venn berikut.

Maka:
40 = (30-x) + x + (25-x) + 10
40 = 30 + 25 + 10 - x
40 = 65 - x
x = 65 - 40 = 25 siswa

8. Ada 40 peserta yang ikut lomba. Lomba baca puisi diikuti oleh 23 orang, lomba baca puisi dan menulis cerpen diikuti 12 orang. Banyak peserta yang mengikuti lomba menulis cerpen adalah...
Kunci jawaban:
Perhatikan diagram Venn berikut, n(S) = 40

Maka, x = 40 - 11 = 29 orang
Jadi, siswa yang mengikuti lomba menulis cerpen ada 29 orang.

9. Dalam sebuah kelas tercatat 21 siswa gemar olahraga basket, 19 siswa gemar sepak bola, 8 siswa gemar basket dan sepak bola, serta 14 siswa tidak gemar olahraga. Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah ....
Kunci jawaban:
n(Basket) = 21 siswa
n(Sepak bola) = 19 siswa
n(Basket dan sepak bola) = 8 siswa
n(Tidak gemar keduanya) = 14 siswa
Perhatikan diagram Venn berikut ini.

Maka, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah:
n(S) = 13+8+11+14 = 46 siswa

10. Dari 42 kelas IA, 24 siswa mengikuti ekstrakurikuler pramuka, 17 siswa mengikuti ekstrakurikuler PMR dan 8 siswa tidak mengikuti kedua ekstrakurikuler. Banyak siswa yang mengikuti kedua kegiatan ekstrakurikuler adalah...
Kunci jawaban:
n(S) = 42 siswa
n(Pramuka) = 24 siswa
n(PMR) = 17 siswa
n(Tidak mengikuti keduanya) = 8 siswa
Perhatikan diagram Venn berikut ini.

Maka:
42 = 24-x+x+17-x+8
42 = 49-x
x = 7 orang

15 Contoh soal esai himpunan dan kunci jawabannya

Berikut ini beberapa contoh soal esai himpunan beserta kunci jawabannya. Simak ya, Bunda.

1. Nyatakan manakah dari kumpulan di bawah ini yang merupakan himpunan!
a. Nama teman sekolahmu yang humoris
b. Nama ikan laut di Indonesia yang enak dikonsumsi
c. Nama tempat ibadah empat agama yang ada di Indonesia

Kunci jawaban:
a. Kumpulan nama teman sekolahmu yang humoris bukanlah merupakan suatu himpunan karena setiap orang pastilah berbeda perlakuannya antara yang satu dengan yang lainnya.
b. Kumpulan nama ikan laut di Indonesia yang enak dikonsumsi bukanlah merupakan suatu himpunan karena setiap orang bisa beda selera dalam mengatakan ikan laut yang enak untuk dikonsumsi.
c. Kumpulan nama tempat ibadah empat agama yang ada di Indonesia merupakan suatu himpunan karena memuat unsur-unsur yang terdefinisi secara jelas yaitu (masjid, gereja, wihara, pura).

2. Nyatakan manakah di bawah ini yang bukan merupakan suatu himpunan!
a. Kumpulan bilangan bulat positif kurang dari 10
b. Kumpulan bilangan bulat negatif lebih dari 1
c. Kumpulan bilangan yang menarik

Kunci jawaban:
a. Kumpulan bilangan bulat positif kurang dari 10 merupakan suatu himpunan karena memuat unsur-unsur yang terdefinisi dengan jelas yakni (1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9).
b. Kumpulan bilangan bulat negatif lebih dari 1 merupakan himpunan karena unsur nya terdefinisi dengan jelas, himpunan bilangan bulat negatif lebih dari 1 adalah himpunan kosong
c. Kumpulan bilangan yang menarik bukanlah merupakan suatu himpunan karena setiap orang berbeda selera dalam mengatakan suatu bilangan menarik.

Jadi, yang bukan merupakan himpunan adalah pion c.

3. Nyatakan kumpulan di bawah ini merupakan himpunan atau bukan himpunan.
a. Kumpulan murid berprestasi
b. Kumpulan guru tampan
c. Kumpulan guru cantik
d. Kumpulan hewan berkaki empat

Kunci jawaban:
a. Kumpulan Murid Berprestasi
Kumpulan tersebut bukanlah merupakan suatu himpunan karena kategori murid berprestasi banyak di berbagai bidang, baik akademik, maupun nonakademik.
b. Kumpulan Guru Tampan
Kumpulan tersebut bukanlah merupakan suatu himpunan karena setiap orang berbeda-beda dalam mengkategorikan kata tampan.
c. Kumpulan Guru Cantik
Kumpulan tersebut bukanlah merupakan suatu himpunan karena setiap orang berbeda-beda dalam mengkategorikan kata cantik.
d. Kumpulan Hewan Berkaki Empat Kumpulan tersebut merupakan suatu himpunan karena terdefinisi secara jelas.

4. Diketahui sebuah himpunan (2, 4, 6, 8,...)
Tentukan himpunan semesta dari himpunan di atas.

Kunci jawaban:
Dari himpunan di atas, maka diketahui bahwa 2, 4, 6, 8 merupakan bilangan genap, maka:
Himpunan semesta dari himpunan tersebut adalah himpunan bilangan genap, atau S = (2, 4, 6, 8...)

5. Tulislah himpunan berikut dengan mendaftar satu-satu anggota!
a. K[xx merupakan kuadrat bilangan bulat negatif lebih dari 10)
b. L={x| x=n-1, n merupakan bilangan bulat positif}
c. M={x| x=n+1, n merupakan bilangan bulat -2 < n < 5]

Kunci jawaban:
a. K = {(-92), (-82), (-72), (-62), (-5), (-42), (-3?), (-22), (-1))
K = (81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4.1]
b. L = (1-1,2-1,3-1, 4-1,5-1,...)
L = (0, 1, 2, 3, 4,
c. M = (-2+1,-1+1, 0+1, 1+1, 2+1, 3+1,4+1)
M = (-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

6. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dalam notasi-notasi himpunan!
a. B= Himpunan bilangan bulat positif antara 2 dan 6.
b. R= Himpunan bilangan riil lebih besar dari 1.
Kunci jawaban:
a. B=[x|2 < x < 6,x bilangan bulat positif}
b. R= {x|x bilangan Riil, x> 1}

7. Tulislah himpunan berikut dalam bentuk metode aturan himpunan!
a. F1-8, -7,-6, -5,-4,-3, -2, -1]
b. G [1, 4, 9, 16, 25)
c. H (3,5,7,9, 11, 13,...)

Kunci jawaban:
a. F = (x|x2-8, XE bilangan bulat negatif]
b. G = (x|x², 0 < x≤ 5, x bilangan bulat}
c. H = {x|x 1, x merupakan bilangan ganjil)

8. Nyatakan himpunan berikut ke dalam metode mendaftar satu-satu!
a. Jika N adalah himpunan bilangan asli, maka J = {x|x € N, x < 9]
b. K = (x|x bilangan prima dan 16 < x < 30}
c. L = (x|x merupakan huruf konsonan pada kata "HIMPUNAN"}

Kunci jawaban:
a. Himpunan bilangan asli adalah (1, 2, 3, 4, ...) disimbolkan dengan N, maka J = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8)
b. Himpunan bilangan prima adalah (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...), maka K = [17,19,23,29)
c. L= {H, M, P, N)

9. Jika diketahui himpunan P = (2, 4, 6, 8, 10), maka sisipkan tanda € atau tanda pada titik-titik di bawah ini.
a. 2 ... P
b. 5 ... P
c. 8 ... P

Kunci jawaban:
a. 2 € P (karena 2 adalah anggota dari himpunan P)
b. 5 P (karena 2 bukan anggota dari himpunan P)
c. 8 € P (karena 2 adalah anggota dari himpunan P)

10. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah!
a. 3 € (2,3,4]
b. {3} € = {2,3,4)
c. [3] € [[2], [3], [4])

Kunci jawaban:
a. Benar, karena 3 merupakan elemen dalam [2, 3, 4].
b. Salah, karena anggota (2, 3, 4) adalah 2, 3 dan 4 bukan (3).
c. Benar, karena (3) merupakan anggota himpunan ((2). [3], {4}).

11. Himpunan penyelesaian dari 2x - 6 = 2(2x + 6) + 5 adalah...

Jawaban: HP = {- 8}

Kunci jawaban:

Caranya adalah dengan memindahkan ruas posisi bilangan yakni:

2x - 6 = 2(2x + 6) + 4
2x - 6 = 4x + 6 + 4
2x - 4x = 6 + 6 + 4
- 2x = 16
X = 16/-2
X = - 8

12. Jika B = {bilangan prima kurang dari 11} maka n(B) = ...

Kunci jawaban: n(B) = 4

Pembahasan:

Bilangan prima yang kurang dari 11 adalah 2, 3, 5, dan 7. Berarti anggota himpunan B berjumlah n(B) = 4.

13. Berapa himpunan penyelesain dari 4x + y = 16 dan 2x + 2y = 20?

Kunci jawaban: 2,8

14. Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari himpunan-himpunan berikut: